BAB IV PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG Kelas 9
BAB IV
PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
Pokok Bahasan
1. Peluang
2. Definisi Peluang
3. Aturan Peluang
4. Permutasi dan Kombinasi
5. Teorema Bayes
6. Ekspektasi
BAB IV
PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG
4.1. Peluang
4.1.1. Definisi Peluang
Peluang berarti kemungkinan dan bagaimana kemungkinan itu terjadi dapat di definisikan sebagai berikut :
1. Definisi secara klasik
Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling ekslusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka peluang peristiwa E terjadi adalah n/N dan ditulis dalam notasi
Contoh : Dadu memiliki enam sisi sehingga, 1 sisi mata 1, 1sisi mata 2, 1 sisi mata 3, 1 sisi mata 4, 1 sisi mata 5 dan satu sisi mata 6
Peluang munculnya mata 1 adalah 1/6
2. Definisi secara empirik
Jika diperhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan, maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan di perbesar sampai tak hingga banyaknya dan ditulis dalam notasi
Contoh : Coin mempunyai 2 sisi sehingga peluang muncul salah satu sisi jika di lempar sabanyak 1 kali adalah ½. Jika dilempar sebanyak 2 kali, belum tentu kedua sisi muncul bergantian, tetapi jika pelemparan dilakukan semakin banyak, maka peluanggnya akan semakin mendekati ½.
4.1.2. Aturan Peluang
Ada beberapa aturan peluang :
1. Peluang sebuah kejadian E selalu berkisar antara 0 sampai 1. Tidak mungkin lebih kecil dari 0 dan tidak mungkin lebih besar dari 1
0 ≤ P(E) ≤ 1
Contoh : Peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu = 1/6
2. Jumlah total peluang pada sebuah kejadian keseluruhan sama dengan 1
Contoh : Jika peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu = P(1) = 1/6
Dan peluang munculnya mata bukan 1 (mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 dan mata 6) adalah 5/6, maka total peluang pada pelemparan dadu adalah
1/6 + 5/6 = 1
3. Kejadian yang saling ekslusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi
P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2)
Contoh : Jika peluang terambil satu kartu ‘hati’ pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu ‘wajik’ adalah 13/52. Maka peluang terambil kartu ‘hati’ atau ‘wajik’ adalah 13/52 + 13/52 = 26/52 atau sama dengan peluang terambil kartu yang merah, artinya kalau tidak ‘hati’ berarti ‘wajik’yang terambil. Jika yang satu sudah terambil maka yang lain tidak akan terambil.
P(♥ U ♦) = P(♥) + P(♦)
= 13/52 + 13/52 = ½
4. Kejadian yang saling inklusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain masih mungkin terjadi
P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)
Contoh : Jika peluang terambil satu kartu ‘hati’ pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu ‘As’ adalah 4/52. Maka peluang terambil kartu ‘hati’ atau ‘As’ adalah 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52. Disini perhitungan di kurangi 1/52 karena pada pengambilan kartu ‘hati’ atau ‘As’ ada kemungkinan terambil kartu ‘hati’ yang ‘As’ dengan peluang 1/52 P(♥ U As) = P(♥) + P(As) – P((♥ ∩ As)
= 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52
5. Kejadian yang saling independen, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu tidak berhubungan dengan kejadian yang lain
P(E1 ∩ E2) = P(E1). P(E2)
Contoh : Dilakukan pelemparan dua buah dadu. Jika peluang munculnya mata 1 pada dadu pertama = 1/6 dan peluang munculnya mata 1 pada dadu kedua = 1/6. Maka peluang dalam satu kali pelemparan 2 dadu akan muncul mata 1 pada dadu pertama dan mata 1 pada dadu kedua adalah 1/6 x 1/6 = 1/36
P(1│I ∩ 1│II) = P(1│I). P(1│II)
= 1/6 x 1/6 = 1/36
6. Kejadian yang mempunyai hubungan bersyarat, yaitu sebuah kondisi dimana kejadian yang satu menjadi syarat untuk kejadian berikutnya. Jadi kejadian kedua terjadi setelah kejadian satu terjadi.
P(E1 ∩ E2) = P(E1). P(E2|E1)
Contoh :Sebuah kotak berisi 3 buah bola berwarna kuning, 4 buah bola berwarna merah dan 5 buah bola berwarna biru, yang sama ukurannya.
|
Peluang terambil bola K = P(K) = 3/12, peluang terambil bola M = P(M) = 4/12 dan peluang terambil bola B = P(B) = 5/12
Jika diambil dua buah bola berurutan, maka peluang terambil pertama bola merah dan ke dua bola biru adalah 4/12 x 5/11 = 0,79. Disini peluang terambil bola biru 5/11 karena bola pertama sudah terambil sehingga jumlah bola keseluruhan tinggal 11
P(M ∩ B) = P(M). P(B|M)
= 4/12 x 4/11 = 0,79
4.1.3. Permutasi dan Kombinasi
Kombinasi
Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek tersebut tanpa menghiraukan urutan objek itu sendiri
Definisi :
Suatu himpunan yang terdiri dari r objek yang mungkin dipilih dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi secara sekaligus sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana r ≤ n, dinyatakan
 |
Contoh : Jika ada 5 huruf A B C D E, kemudian akan diambil 3 huruf untuk di susun dengan tidak memperhatikan urutan, maka kemungkinan susunannya :
A B C A B D A B E A C D A C E
A D E B C D B C E B D E C D E
Atau jika dihitung
 |
Jadi ada 10 susunan yang mungkin.
Permutasi
Permutasi sejumlah objek ialah penyusunan objek tersebut dalam suatu urutan tertentu
Definisi :
Pengaturan atau penyusunan sebanyak r objek yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda secara matematis dinamakan permutasi secara sekaligus sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana r ≤ n, dinyatakan
Contoh : Jika ada 5 huruf A B C D E, kemudian akan diambil 3 huruf untuk di susun dengan memperhatikan urutan, maka jumlah sususnan yang mungkin ada
 |
Jadi ada 60 susunan yang mungkin
4.1.4. Teorema Bayes
Jika kita mengamati k buah kejadian B1, B2, …, Bk dengan peluang terjadinya kejadian itu masing-masing P(B1), P(B2), …, P(Bk) kemudian kita mengamati sebuah kejadian A dalam masing masing kejadian tadi dengan peluang P(A│B1), P(A│B2), …, P(A│Bk),
 |
maka peluang terjadi kejadian A adalah :
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + … + P(Bk) P(A|Bk)
Dan peluang kejadian A tersebut berasal dari kejadian Br adalah
 |
Contoh :
Tiga orang telah dicalonkan sebagai manajer sebuah perusahaan. Peluang A terpilih adalah 0,3, peluang B terpilih adalah 0,5, dan peluang C terpilih adalah 0,2. Jika A terpilih, peluang terjadinya kenaikan gaji karyawan adalah 0,8. Jika B atau C terpilih, peluang kenaikan gaji karyawan masing-masing adalah 0,1 dan 0,4.
B1 = A terpilih, B2 = B terpilih, dan B3 = C terpilih
G = kejadian gaji naik
P(B1) = 0.3, P(B2) = 0.5, P(B3) = 0.2
P(G│B1) = 0.8, P(G│B2) = 0.1, P(G│B3) = 0.4
Peluang terjadi kenaikan gaji karyawan adalah
P(G) = P(B1) P(G│B1) + P(B2) P(G│B2) + P(B3) P(G│B3)
= (0.3)(0.8) + (0.5)(0.1) + (0.2)(0.4)
= 0.37
Jadi peluang kenaikan gaji sebesar 0,37
Peluang kenaikan gaji terjadi jika terpilih C adalah
 | ||
 | ||
Jadi peluang kenaikan gaji jika C terpilih adalah sebesar 0,23
4.1.5. Ekspektasi
Misalkan sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi dimana peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1, p2, …, pk dan untuk tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan x1, x2, …,xk, maka ekspektasi eksperimen itu didefinisikan
ξ = Σ pi xi
= p1 x1 + p2 x2 + … + pk xk
Contoh :
Sebuah undian berhadiah yang terdiri dari 1 hadiah pertama seniali 100.000, 2 hadiah kedua masing-masing 50.000 dan 3 hadiah ke tiga masing-masing 25.000. Jika jumlah kupon secara keseluruhan adalah 100, maka peluang mendapat hadiah pertama 1/100, peluang mendapat hadaiah ke dua 2/100 dan peluang mendapat hadiah ke tiga 3/100. Jika kopon di jual seharga 1000 perlembar, maka harapan untuk menang scara matematisnya adalah : p1 = peluang mendapat hadiah pertama = 1/100
x1 = peristiwa menang hadiah pertama = 100.000
p2 = peluang mendapat hadiah pertama = 2/100
x2 = peristiwa menang hadiah pertama = 50.000
p3 = peluang mendapat hadiah pertama = 3/100
x3 = peristiwa menang hadiah pertama = 25.000
p4 = peluang mendapat hadiah pertama = 94/100
x4 = peristiwa menang hadiah pertama = (- 1000)
ξ = 1/100 x 100.000 + 2/100 x 50.000 + 3/100 x 25.000 + 94/100 x (-1000)
= 100.000 + 100.000 + 75.000 – 282.000 = - 7.000
Karena nilai ekspektasi negatif, berarti secara matematika, kemungkinan akan kalah atau tidak ada harapan untuk mendapatkan hadiah.
Harapan secara matematik itu ada ketika nilai ekspektasinya positif.
Contoh Soal :
1. Tentukanlah nilai kemungkinan
(a) Sisi ‘muka’ berada di atas jika sebuah mata uang dilemparkan sekali;
(b) Bayi yang akan dilahirkan seorang ibu ialah laki-laki.
Penyelesaian
(a) Ada dua hal yang bisa terjadi, yaitu berada di atas itu sisi M atau sisi B sehingga P(M) = 
.
.
(b) Hal yang bisa terjadi ialah kelahiran bayi laki-laki atau wanita sehingga P(laki-laki) = .
.
(Dalam masalah kelahiran biasanya selalu dianggap yang akan lahir itu seorang bayi laki-laki atau wanita saja sedangkan kelahiran kembar atau yang lainnya tidak diperhatikan).
2. Sebuah dadu dilemparkan sekali. Tentukanlah nilai kemungkinan dadu menunjukkan angka
(a) 5;
(b) 3 atau lebih.
Penyelesaian
(a) Ada 6 hal yang bisa terjadi, yang masing-masing mempunyai peluang sama, sehingga P(5) =
.
.
(b) Pada peristiwa dadu menunjukkan angka 3 atau lebih, A = {3,4,5,6} memuat 4 titik sampel sehingga P(A) = 
.
.
3. Diambil sebuah kartu dari selengkap kartu bridge terkocok. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya kartu
(a) As ;
(b) Raja (dengan lambang K) ;
(c) Gambar ‘daun’
Penyelesaian
Ruang sampelnya terdiri dari 52 titik sampel yang masing-masing mempunyai peluang sama.
(a) Ada 4 kemungkinan kartu As terambil, sehingga P(As) = 
.
.
(b) Ada 4 kemungkinan kartu Raja terambil, sehingga P(K) = 
(c) Ada 13 kemungkinan kartu gambar ‘daun’, sehingga P(kartu ‘daun’)= 
.
.
4. Dari baskom yang berisi 7 bola merah, 5 bola biru, dan 3 bola hitam diambil sebuah di antaranya. Tentukanlah nilai kemungkinan bola yang diambil
(a) Merah;
(b) Biru;
(c) Hitam.
Penyelesaian
Misalkan peristiwa terambilnya bola merah, biru, dan hitam berturut-turut diberi lambang M, B, dan H. Maka
(a) P(M) = 
= 
= 
.
= = .
(b) P(B) = 
= 
= 
.
= = .
(c) P(H)= 
=
= 
.
= = .
5. Suatu baskom berisi 10 bola pingpong yang masing-masing diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Dari dalamnya diambil satu bola. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya bola bernomor
(a) Bilangan prima ;
(b) Bilangan yang habis dibagi 2;
(c) Bilangan yang habis di bagi 3.
Penyelesaian
Misalkan p menyatakan nilai kemungkinan setiap kejadian itu, maka
(a) Karena ada 5 bilangan prima dari kesepuluh bilangan itu, p = 
= ;
= ;
(b) Bilangan yang habis dibagi 2 ada 5 buah, sehingga p = ;
;
(c) Bilangan yang habis dibagi 3 ada 3 buah, sehingga p = 
.
.
6. Satu mata uang yang tangkup dilemparkan dua kali. Tentukanlah nilai kemungkinan
(a) ‘muka’ tampak pada lemparan pertama ;
(b) Hasil lemparan pertama dan kedua sama ;
(c) Paling sedikit satu ‘muka’ berada di atas.
Penyelesaian
Keadaan yang bisa terjadi dalam pelemparan satu mata uang dua kali ialah MM;MB;BM;BB, di mana MB menyatakan ‘muka’ pada lemparan pertama dan ‘balik’ pada lemparan kedua. Sehingga nilai kemungkinan itu ialah
(a) p =
(b) p =
(c) p = 
7. Bila satu dadu yang tangkup dilemparkan dua kali, tentukanlah nilai kemungkinan
(a) hasil lemparan pertama genap dan kedua gasal;
(b) hasil lemparan pertama dan kedua sama;
(c) hasil lemparan pertama dan kedua gasal.
Penyelesaian
Tabel 1.1 menyatakan ruang sampel hasil pelemparan sebuah dadu dua kali.
Tabel 1.1 Hasil pelemparan dadu dua kali
 |
Dengan melihat tabel itu dapat dihitung bahwa
(a) nilai kemungkinan hasil lemparan pertama genap dan kedua gasal ialah p = 
= 
=
(b) p = 
= ; dan
= ; dan
(c) p = 
.
.
8. Dari soal 7 di atas, tentukan nilai kemungkinan jumlah angka yang tampak dari dua kali lemparan itu ialah
(a) 5 ;
(b) 10; dan
(c) Kurang dari 11.
Penyelesaian
Misalkan J = jumlah angka yang tampak pada lemparan pertama dan kedua. Dengan pertolongan Tabel 1.1, didapat
(a) P(J = 5) = 
;
;
(b) P(J = 10) = 
;
;
(c) P(J ≤ 11) = 
;
;
9. Pengantin baru mengatakan bahwa mereka menginginkan 3 orang anak dari pernikahannya. Bila keinginannya terpenuhi, tentukanlah nilai kemungkinan bahwa anaknya
(a) wanita semua;
(b) satu pria dan dua wanita;
(c) pria semua.
Penyelesaian
Urutan kelahiran yang bisa terjadi dapat disusun sebagai berikut
Dimana PWP = anak pertama pria, kedua wanita, dan ketiga pria.
Jadi di sini ada 8 kejadian yang berpeluang sama, maka
(a) P (wanita semua) = 
;
;
(b) P (1 pria) = 
;
;
(c) P 3 pria) = .
.
10.Ada dua orang A dan B yang mencalonkan diri sebagai kepala desa di desa X. Pemilihan dilakukan secara bebas dan rahasia. Setelah pemilihan, empat orang pemilih (sebarang) ditanya mengenai pilihannya, dan dianggap mereka memberikan jawaban yang jujur. Tentukanlah nilai kemungkinan bahwa
(d) ke 4 orang itu memilih calon A ;
(e) 3 orang memilih calon A ; dan
(f) 2 orang memilih calon A.
Penyelesaian
Kemungkinan pilihan mereka dapat disusun sebagai daftar berikut
AAAA BAAA BABA BABB
AAAB AABB BAAB BBAB
AABA ABBA BBAA BBBA
ABAA ABAB ABBB BBBB
Dimana ABAB menyatakan orang pertama memilih calon A, orang kedua memilih B, yang ketiga memilih A, dan orang keempat memilih B. Maka
(a) P(4 orang itu memilih A) = 
(b) P(3 orang memilih A)= 
;
;
(c) P(2 orang memilih A)= 
.
.
SOAL LATIHAN
1. Diambil sebuah kartu dari selengkap kartu domino (28 kartu). Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya kartu
(a) balok, yaitu kartu dengan cacah titik di bagian kiri dan kanan sama;
(b) dengan jumlah titik enam buah;
(c) dengan jumlah titik kurang dari tujuh buah;
(d) dengan jumlah titik lebih dari sepuluh buah.
2. Seperti soal nomor 1 di atas, tetapi dinyatakan nilai kemungkinan
(a) jumlah titik pada kartu itu gasal;
(b) jumlah titik pada kartu itu genap;
(c) jumlah titik pada kartu habis dibagi dengan 4;
(d) selisih banyaknya titik di sebelah kiri dan kanan ialah 1.
3. Dalam suatu keranjang terdapat 12 jambu merah, 7 kuning, dan 6 hijau yang bentuk dan besarnya sama. Seorang yang benar-benar buta warna mengambil sebuah dari keranjang itu. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya jambu berwarna
(a) merah ;
(b) kuning;
(c) hijau.
4. Dua dadu yang satu hitam yang satu putihdilemparkan bersama-sama satu kali. Tentukanlah nilai kemungkinan jumlah angka yang tampak pada kedua dadu itu
(a) 7 atau lebih;
(b) 7 atau kurang;
(c) 6 atau 8 .
5. Seperti nomor 4 di atas, tetapi yang ditanyakan nilai kemungkinan selisih angka yang tampak pada kedua dadu itu
(a) kurang dari 3;
(b) lebih dari 2;
(c) kurang atau sama dengan 3.
6. Dari selengkap kartu bridge (52 kartu) terkocok diambil selembar, tentukanlah nilai kemungkinan kartu itu
(a) bukan As;
(b) bukan daun;
(c) bukan As atau Raja atau Ratu atau Jack;
(d) dengan angka 10 atau As atau daun dengan angka 9.
7. Dari sekelompok yang mempunyai 4 orang anak dipanggil seorang diantaranya. Tentukanlah nilai kemungkinan bahwa ke 4 anaknya terdiri dari
(a) pria semua;
(b) 2 anak wanita;
(c) Wanita semua.
8. Hasil ujian statistika 100 mahasiswa adalah sebagai berikut: 5 orang mendapat nilai A, 20 orang B, 40 orang C, 19 orang D, 11 orang E, dan sisanya gagal. Yang dinyatakan lulus ialah yang nilainya A, B atau C. Dipanggil seorang dari mahasiswa tersebut. Berapakah nilai kemungkinan bahwa ia
(a) mendapat nilai A;
(b) mendapat nilai B;
(c) Ia lulus;
(d) Tidak lulus;
(e) Gagal
9. Seorang penjual jam tangan memiliki 50 buah jam tangan merk X, 7 buah di antaranya palsu. Seseorang ingin membeli 2 buah dari penjual itu. Berapakah nilai kemungkinan pembeli itu mendapatkan jam yang dibelinya
(a) asli semua;
(b) yang satu palsu ; dan
(c) keduanya palsu.
10. Pada suatu depot anggrek dijual berbagai bibit anggrek. Depot itu memiliki 1000 batang bibit anggrek bulan, 120 di antaranya bibit hasil silangan. Seorang penggemar membeli 3 batang saja. Tentukanlah nilai kemungkinan penggemar itu mendapatkan
(a) ketiga batang itu bukan silangan;
(b) dua di antaranya hasil silangan;
(c) semuanya ternyata hasil silangan.
4.2. Distribusi Peluang
Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masing-masing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di sebut dengan distribusi.
Distribusi peluang untuk suatu variabel acak menggambarkan bagaimana peluang terditribusi untuk setiap nilai variabel acak.
Distribusi peluang didefinisikan dengan suatu fungsi peluang, dinotasikan dengan p(x) atau f(x), yang menunjukkan peluang untuk setiap nilai variabel acak.
Ada dua jenis distribusi, sesuai dengan variabel acaknya. Jika variabel acaknya variabel diskrit, maka distribusi peluangnya adalah distribusi peluang diskrit, sedangkan jika variabel acaknya variabel yang kontinu, maka distribusi peluangnya adalah distribusi kontinu.
4.2.1. Ditribusi Peluang Diskrit
4.2.1.1. Distribusi Binomial
4.2.1.2. Distribusi Multinomial
4.2.1.3. Distribusi Poisson
4.2.1.4. Distribusi Hipergeomertik
4.2.2. Distribusi Peluang Kontinu
4.2.2.1. Distribusi Normal
4.2.2.2 Distribusi Lainnya (t, F, χ2)
Komentar
Posting Komentar